La razón no tiene unidades y sirve para comparar: indica el número de veces que una cantidad es mayor que otra.
Observa que una razón no es una fracción: en una razón los números pueden ser decimales, mientras que en una fracción son enteros.
Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones:
a / b = c / d (se lee "a es a b como c es a d")
Extremos: a y d
Medios: b y c
Propiedad fundamental: en una proporción el producto de medios es igual al producto de extremos.
a · d = b · c
Ejemplo
Un bote de pintura grande pesa 4.5 kg y el pequeño 1.5 kg. ¿Cuál es la razón entre el peso del bote grande y el peso del bote pequeño? ¿Qué indica?
Solución:
4.5 / 1.5 = 3
La razón es 3 e indica que el bote grande pesa 3 veces más que el pequeño.
Ejercicios Resueltos
15. Un rectángulo mide 50 cm de ancho y 20 cm de alto. Hallar la razón entre su anchura y su altura. ¿Qué nos indica la razón?
Solución: 50/20 = 2.5. La razón es 2.5 e indica que la anchura es 2.5 veces la altura.
16. Una bolsa grande de magdalenas cuesta 5.2 € y una bolsa pequeña cuesta 1.3 €. Hallar la razón entre el precio de la bolsa grande y el de la pequeña. Explica qué indica la razón.
Solución: 5.2/1.3 = 4. La razón es 4 e indica que la bolsa grande cuesta 4 veces más que la bolsa pequeña.
17. Una chica tiene 15 años y su padre 45. Hallar la razón entre la edad de la hija y la edad del padre. Explica qué significa la razón.
Solución: 15/45 = 1/3. La razón es 1/3 e indica que la edad de la hija es la tercera parte de la edad del padre.
18. ¿Forman proporción las siguientes razones?
a) 12/60 y 2/3 b) 3/2 y 6/4 c) 5/4 y 25/20
Solución: a) No forman proporción b) Sí forman proporción c) Sí forman proporción
19. Hallar el cuarto proporcional:
a) x/4 = 8/2 b) 32/x = 8/5 c) 9/7 = x/7 d) 5/12 = 10/x
Solución: a) x = 16 b) x = 20 c) x = 9 d) x = 24
Proporcionalidad Directa
Magnitudes directamente proporcionales
Una magnitud es una propiedad que se puede medir y expresar con números (ej: número de cuadernos, kg de fruta, precio a pagar).
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.
Constante de proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si se verifica que:
a' / a = b' / b = c' / c = ... = k
donde k es la constante de proporcionalidad.
Ejemplo: Coste de lápices
Nº de lápices
1
2
3
5
8
Coste (€)
0.4
0.8
1.2
2.0
3.2
Las magnitudes son directamente proporcionales porque:
0.4/1 = 0.8/2 = 1.2/3 = 2/5 = 3.2/8 = 0.4
La constante de proporcionalidad es 0.4
Ejercicios Resueltos
20. Razona si los siguientes pares de magnitudes son o no directamente proporcionales:
a) Nº de obreros y tiempo para terminar una obra
b) Nº de entradas al cine y precio a pagar
c) Peso de una persona y su estatura
d) Distancias en un mapa y distancias reales
Solución:
a) No. Si trabajan más obreros, tardan menos tiempo.
b) Sí. Doble entradas, doble precio.
c) No. Doble estatura no implica doble peso.
d) Sí. Doble distancia real implica doble distancia en el mapa.
21. Dada la siguiente tabla de valores directamente proporcionales, complétala y calcula la constante de proporcionalidad.
x
4
6
?
9
y
40
?
64
72
Solución: Constante k = 10. Tabla completa:
x
4
6
6.4
9
y
40
60
64
90
Método de reducción a la unidad (Pasos)
1 Comprobar que las dos magnitudes son directamente proporcionales
2 Localizar el dato conocido
3 Dividiendo, calcular el valor de la segunda magnitud que corresponde a una unidad de la primera
4 Multiplicando adecuadamente, calcular el valor deseado
Ejemplo resuelto por reducción a la unidad
Problema: Si 5 lápices cuestan 2€, ¿cuánto costarán 8 lápices?
1Comprobar proporcionalidad: Sí, a más lápices, más coste
2Dato conocido: 5 lápices → 2€
3Reducir a la unidad: 1 lápiz cuesta 2€ / 5 = 0.4€
4Calcular: 8 lápices costarán 8 × 0.4€ = 3.2€
Regla de tres simple directa (Pasos)
1 Comprobar que las dos magnitudes son directamente proporcionales
2 Separar en dos columnas las magnitudes
3 Escribir el dato conocido
4 Escribir la pregunta
5 Formar la proporción y resolver
Ejemplo resuelto por regla de tres
Problema: Si 5 lápices cuestan 2€, ¿cuánto costarán 8 lápices?
1 Identifica las magnitudes y su tipo de relación (directa, inversa)
2 Selecciona el método adecuado (reducción a la unidad o regla de tres)
3 Para porcentajes: decide si calculas la parte, el total o el porcentaje
4 Aplica los pasos correspondientes al método seleccionado
5 Verifica que el resultado tiene sentido en el contexto del problema
1
Alicia pagó 30€ por 5 kg de peras. ¿Cuántos kilos compró si pagó 39€? (Usa reducción a la unidad)
2
Un obrero gana 280€ por 56 horas de trabajo. ¿Cuánto ganará si trabaja 65 horas? (Usa regla de tres)
3
Viajamos a un país cuya moneda es el yin-zu. Si un yin-zu equivale a 4€, ¿cuántos yin-zu nos darán por 453€?
4
Un motorista tarda 4 horas en recorrer 276 km. Si mantiene velocidad constante, ¿cuánto tardará en recorrer 414 km?
5
En una oficina se gastan 525 folios en 5 días. ¿Cuántos folios se gastarán en 24 días?
6
Con 59 kg de harina se elaboran 118 kg de pan. ¿Cuántos kg de harina se necesitan para 16 kg de pan?
7
La escala de un mapa es 1:400000. La distancia en el mapa de dos ciudades es 4 cm. ¿Qué distancia las separa en la realidad?
8
Al elaborar un postre para dos personas se necesitan 120 g de arroz. ¿Cuánto arroz necesitarás para 3 personas?
9
En un concesionario se venden 8100 vehículos al año, el 67% son turismos. Halla el número de turismos vendidos.
10
En una ciudad se envían 9800 mensajes de móvil diarios. El 57% son multimedia. ¿Cuántos mensajes multimedia se envían?
11
El 17% de los alumnos estudian inglés. Si hay 9200 alumnos, ¿cuántos estudian inglés?
12
María recibe el 48% del dinero de las ventas. Si quiere ganar 2976€, ¿cuánto tendrá que vender?
13
El 38% de las mujeres encuestadas practican deporte. Si son 228, ¿cuántas fueron encuestadas?
14
De 2300 vehículos vendidos, 690 son turismos. ¿Qué porcentaje son turismos?
15
De 4200 alumnos, 462 estudian inglés. ¿Qué porcentaje representan?
16
Precio artículo: 800€ con 13% descuento. ¿Cuánto pagarás?
17
Precio artículo: 7000€ con 51% recargo. ¿Cuánto pagarás?
18
Precio artículo: 5000€ con 10% recargo. ¿Cuánto pagarás?
19
Precio sin IVA: 4000€, IVA 12%. ¿Cuánto pagarás?
20
Precio sin IVA: 200€, IVA 7%. ¿Cuánto pagarás?
Soluciones:
6.5 kg
325€
113.25 yin-zu
6 horas
2520 folios
8 kg
16 km
180 g
5427 turismos
5586 mensajes
1564 alumnos
6200€
600 mujeres
30%
11%
696€
10570€
5500€
4480€
214€
Autoevaluación
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. En una clase hay 16 chicos y 8 chicas. Halla la razón entre chicos y chicas y explica qué indica.
2. ¿Son magnitudes directamente proporcionales? a) Edad de una persona y su altura. b) Distancia recorrida y tiempo empleado (velocidad constante).
3. ¿Forman proporción 2/3 y 6/9?
4. Halla el cuarto proporcional: 3/4 = 54/x
5. Si 5 cuadernos cuestan 10€, ¿cuánto costarán 2 cuadernos? (Usa reducción a la unidad)
6. Si 3 kg de manzanas cuestan 6€, ¿cuánto costarán 20 kg? (Usa regla de tres)
7. En abril se plantaron 168 árboles, que representan el 80% del objetivo mensual. ¿Cuántos árboles se plantaron en abril?
8. Un artículo de 80€ se vende a 60€. ¿Qué porcentaje de descuento se aplicó?
9. En un aparcamiento, 160 plazas están ocupadas, lo que representa el 8% del total. ¿Cuántas plazas tiene el aparcamiento?
10. Un ordenador cuesta 4400€ sin IVA. Si el IVA es del 10%, ¿cuánto pagaremos?
Soluciones:
Razón: 16/8 = 2. Indica que hay el doble de chicos que de chicas.
a) No b) Sí
Sí
x = 72
4€
40€
210 árboles
25%
2000 plazas
4840€
Para Saber Más
Los viajes de Gulliver
Jonathan Swift escribió esta obra donde narra aventuras en países imaginarios. En Brobdingnag (país de gigantes) todo es 12 veces más grande que en nuestro mundo. En Lilliput (país de enanos) todo es 12 veces más pequeño.
Comisiones bancarias
Los bancos cobran comisiones por servicios como transferencias o uso de tarjetas de crédito. Estas comisiones suelen ser un porcentaje sobre la operación realizada.
Altura de las pirámides de Egipto
Tales de Mileto calculó la altura de una pirámide usando proporcionalidad. Midió la longitud de la sombra de la pirámide (S) y comparó con la sombra de una vara de altura conocida (h) y su sombra (s):
h / s = x / S ⇒ x = (h × S) / s
Donde x es la altura de la pirámide.
El IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido)
En España existen diferentes tipos de IVA:
Tipo
Porcentaje
Productos/Servicios
General
21%
Electrodomésticos, ropa, calzado, etc.
Reducido
10%
Transporte, hostelería, viviendas, etc.
Superreducido
4%
Alimentos básicos, libros, medicinas, etc.
Recuerda lo más importante
Conceptos Fundamentales
Razón: Cociente entre dos números a/b
Proporción: Igualdad entre dos razones a/b = c/d
Propiedad fundamental: a·d = b·c (producto de medios igual a producto de extremos)
Magnitudes directamente proporcionales: Al doble, triple... de una le corresponde doble, triple... de la otra.
Constante de proporcionalidad (k): Cociente entre valores correspondientes: k = y/x
Porcentaje: Razón de denominador 100. Se expresa con %.
Relación porcentual:
100% → total
porcentaje → cantidad
Reducción a la unidad (Pasos)
1 Comprobar proporcionalidad directa
2 Localizar el dato
3 Calcular valor para 1 unidad
4 Calcular valor pedido
Regla de tres (Pasos)
1 Comprobar proporcionalidad directa
2 Separar magnitudes en columnas
3 Escribir dato conocido
4 Escribir pregunta
5 Formar proporción y resolver
Sabías que...
La proporcionalidad es uno de los conceptos matemáticos más utilizados en la vida diaria. Desde calcular descuentos en las tiendas hasta determinar la cantidad de ingredientes para una receta, las proporciones están presentes en muchas situaciones cotidianas.
Los porcentajes son especialmente importantes en finanzas, estadísticas y economía. Saber calcular porcentajes te ayudará a tomar mejores decisiones financieras y comprender mejor la información que te rodea.
